上廉进一位与方相加。得●为法。以除实得●。又因方廉隅同为正。须退商为●。或●。先以●试之如前法。求得三商实变为正是知商●。为太多。必用●为次商。仍如前法。求得●为三商实。又求得●●●为方廉仍以●为隅并之得●●●●●为开三商式乃以方除实得●即为三商仍如前法求之却尽是为开尽并诸商得●即方又法如前法求得次商实●。及次商方●。其上廉以下不根也。 必求。乃以方除实。得●。亦退商●与●若。以●先试。即以●加初商。得●为乘法。仍列●●●●●。以●乘第一层得●。加入第二层。得●。再以●乘之。得●。加入第三层得●。再以●乘之。得●。加入第四层。得●。再以●乘之。得●加入上层得●为三商实。 再以●乘第一层。四倍之得●。加入三倍下廉得●。再以●乘之。得●。加入倍上廉。得●。再以●乘之。得●加入方得●。为三商方。以方除实得●。即为三商。加初次商得●。仍如求次商法求之却尽。又法如四乘方式●●●●●●。用求数根法。求得实根●●●●●●。且又用超步法得位数●●。又求得尾数●。视数根中取二根或多根相乘。其尾数必为●者。惟●为●。●为●然●有四位。与位数不合。是知●为商数。即元数也。
又法取略大于商数为外元以外元乘隅加入长廉再以外元乘之加入平廉如是递求而上至加入方后以外元乘之而止即为外积又以外元加一如前递求亦至加入方后再乘之而止其得数与外积相减又减一为递次除法 又取小初商为一借元如求外积法求得一借积减本积余以除法除之得数加一借元为二借元又求得二借积减本积余以除法除之得数加二借元为三借元顺是以下皆如是求至借元渐大与元数密合而止
又法任取大小二商为一借元二借元如前法求得一借积二借积乃以一借积与二借积之较积为一率二借积与本积之较积为二率一二两借元之较为三率求得四率以加减二借元为三借元 又以三借元求得三借积以二三两借积之较积为一率三借积与本积之较积为二率二三两借元之较为三率求得四率以加减三借元为四借元 顺是以下皆如是求至与元数密合而止 试考以上五法互有难易均非捷法如首二法之最难者定初商虽有超步之法如益积翻积之多乘方或有商一数开之不合又易一数开之仍不合甚至易十余次而得者次商较易于初商然亦有易二三次可得者数根开方之法虽无定初商之难事又有求数根之法为甚繁如实数在十万以内可捡对数阐微表在数理精蕴内求得数根如法开之诚为捷法如在十万之外其求数根之繁几如求初商相等末二法必须所借之元与元数略近庶可省递求次数似为便捷然求略近借元亦非易事若借元与元数悬殊必须辗转相求至十余次方得密合所以亦非捷法昔人云开方无捷法诚哉是言也
近日开方诸法略具梗概诸法虽均有不便但求其较易立方可依代数术开之立方以上求初商则用超步法次商以下则用借积比例法集众长以求之庶不至束手无策
验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易
沈善蒸
验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为法实仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九九九九九九九九九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二七七与七十之较数六三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八六五五七八四今欲以并代减将各位相并得四三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也
说理透彻至窥得九减之弊尤见心细
验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易
崔有洲
数之始生于一极于九乘除虽循环无穷而皆不能溢出九九范围之外故九减不论单十百千之位十百千即一也亦不计空位只据现有之数而计之如此●彼●两数相乘则并二一三七得十三以九减之余四于上并彼一三五六得十五以九减之余六以乘上得●并得六寄左乃以彼此两数相乘得●并得四十二以九减之亦余六与左数同则知无误如不用九减或用七减八减六减均可但拘于单十百千之位辗转屡次减之不及九减