其期夫闰日乃以太阳行度纪年闰月则以太阴行度作岁虽月分闰法各有不同而岁序纪纲则无少差异此谓之不约而合者也中国以正月朔为岁首梅勿庵谓西国以日躔斗四度为正月朔或云西国以地球当最卑为过年之期二者所差尚微因最卑东行每岁约六十二秒恒星东行每岁约五十一秒仅差十一秒须积至三百二十七年有奇始差一度推今岁冬至最卑点距冬至点后十度五十八分四十一秒自注此论系光绪丙戌年作冬至后二十日内日行最速每日约一度有零故冬至越十日而为西国过年之期即中国十二月初八日也西人恒以过年前八日为耶稣诞辰即太阳躔第十二宫第二十五日故耶稣诞辰在中国冬至后三日也虽然中西两历不同而实同然而同之中又有不同焉耶稣诞辰后冬至三日者在近今六十年中则然尔推原厥故并非关乎理法之疏密而由于立法之各异天象之变迁惟西国总以地球当最卑为过年之期最卑又每岁东行约六十二秒约历六十年而差一度故六百年之间而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度为过年之期大略相同如今年最卑后距冬至十度零越六百年而当变为距二十度零则西国过年之期亦将在中国冬至后二十日而耶稣诞辰即因之变为后十三日矣大凡六十年中亦有一二日参差今岁交冬至节在十一月二十七日卯初故为后三日设于二十六日亥时交冬至则变为后四日矣惟查康熙戊辰年瞻礼单耶稣诞辰则在冬至后四日似以日躔斗四度为过年之期也考最卑与冬至同度当在宋理宗时自宋以上又差而前故上溯汉哀帝庚申年最卑以前距冬至约二十二度十六分所以耶稣降生之辰当在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日为小雪后二三日也一千九百年之间已差至三十一日此所谓同之中更有不同者也愚准最卑东行之理推之自今以往约历一万零一百四十年之久则地球绕日之轨道最卑最高将易位置是最卑点当夏至点而西国过年之日在中华夏至之期即耶稣诞辰在中国夏至前七日矣当是时北半地球夏生酷暑冬有严寒愈近北极而其苦愈甚盖最卑最高所受日光之比若十六与十五比地土皆环绕北冰海披离下垂故南半球多水北半球多陆水可回光故难受亦难散陆能传热故易受而易散夏至北极朝日日光直射北半球惟地球适当最高则相宜乃彼时适当最卑其积热应得百度者增而为一百零七度冬至南极朝日日光斜照北半球若地球当最卑则尚宜乃彼时适当最高其余热应有二十度者减而为十八度虽略能以行度之盈缩而迭相消长然曷若今日消长之自然也或曰寒暑表上升降数度在人似不大觉何苦之有曰伏暑增两三度不能隆冬减两三度不能不见夫赤日当空火伞方张之候竟有多挂一丝而不能者此何故欤又不见云愁水结灯寒榻冷之间直有欲把刀剪而难堪者此又何故欤夏至时且将增七度之热而人有不唤苦者乎自此更历万余年而仍复今日此又天运之循环而中西岁月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之运行弗替则其故甚微一时不可思议虽欧洲楚精天文家亦莫明其妙惟大约其故必在恒星焉
更定测北极出地简法
胡惟德
西人颜家乐测北极出地简法见赤水遗珍畴人传亦载之其法先于其处测一恒星自出地平至正午所历之时及其高度以时变赤道度以其大矢为一率正矢为二率高度正弦为三率得四率为正弦查表得度内减去星距天顶度余与九十度相加折半转减九十度得北极出地度但此法必北极出地不满半象限星过子午圈在天顶南赤道北而后可否则不合李氏壬叔以其非通法也而改之见所着天算或问其法视星在赤道南北不同而大矢正矢异其乘除视星之高弧或深弧南北不同而两弧异其加减法虽略备转失之繁故颜氏法简而不备李氏法备而不简学者卒难领悟今变通两家缀为公法诸题均可一以贯之并补图演草于后推步之家庶有取焉光绪十二年丙戌夏六月丁澣识于沪滨格致堂
法曰于一处任测一恒星自出地平至子午圈所历之时及在子午圈之高弧乃以时化度以其本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦为三率得四率为正弦检表得度为星之深弧与高弧相加以减半周折半得北极出地度自地平圈南至星出地最高点为高弧自地平圈北至星入地最深点为深弧两弧如有过象限者仍用本角度不用外角度
图略
如图午癸丙丁有依子午圈剖成平圆面乙丁为地平癸为北极癸乙为北极出地午为赤道交子午圈点甲为星甲丙为星道径甲丁为高弧甲壬为其正弦乙丙为深弧庚丙为其正弦甲辛为星道度本角正矢辛丙为星道度外角正矢星一昼夜而一周故以时化度即星道度甲辛壬与辛庚丙两句股形为同式故星道度本角正矢即甲辛弦与星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股与深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸与癸丙两弧相等并为深弧加北极出地之度以甲丁高弧减乙己丁半周余甲乙弧为北极出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以减半周折半即北极出地度此加减而得北极出地之理也何以知星道度本角正矢为甲辛外角正矢为辛丙也如甲卯丙未为依星道剖成平圆面甲丙为星道径丑甲为星出地平至子午圈所过之度甲心丑为本角其正矢为甲辛丑心丙为外角其正矢为辛丙也
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历二十六刻二分高弧六十三度求北极出地草曰以星出地平至子午圈时刻化度得九十八度其本角正矢为一一三九一七三外角正矢为八六八二七乃