本数之对数较易诸数皆正者为正负相间即为大于本数之对数较以此求诸对数以备立表视前人诸法不尤捷乎此首卷之所以要也一则近来西书求对数半较其法颇捷而立法之原不详间以开方之理推之乃知亦系开方之法但此开方与前册开方诸法不同以中方根求大小两方根半较法也爰自平方至无量数九乘方各以率数阐之莫不显然一贯而开方之说可以据为定论无疑此次卷之所以要也至是书中逐事逐节阐微抉隐于对数之理均觉似非小补然以视最要之端则犹为余事矣
论对数根
刘彝程
第一问
问何谓对数根曰命单一下带无数空位零一之数为方根求其无量数九乘方之积为真数次置方根零数即零一之一以一无量数乘之得单一为真数之自然对数由自然对数求得定准对数即对数根也法以十之自然对数为首率十之定准对数单一为中率求得末率为对数根十之自然对数与十之定准对数单一之比若以单一为自然对数与其定准对数之比而此所得定准对数用之乘一切方根零数可得一切数之定准对数以其为诸对数之所自出故曰对数根也
第二问
问以对数根乘一切数之方根零数而得一切数之定准对数其理若何且求一切定准对数舍对数根尚别有法乎曰一切数之方根零数既为一切数之自然对数则置本数之方根零数任以若干数之定准对数乘之以若干数之自然对数除之必得本数之定准对数顾此法须一乘一除不若有乘无除或有除无乘之便有乘无除者以对数根为乘法是也有除无乘者以十之自然对数为除法是也自然对数单一与定准对数对数根之比同于一切自然对数与一切定准对数之比而所宜置之一率系单一可以省除宜以单一为一率对数根为二率一切自然对数为三率求得四率为一切定准对数故以对数根乘一切方根零数即得一切定准对数又十之自然对数与十之定准对数之比同于一切数之自然对数与一切定准对数之比而十之定准对数系单一可以省乘故以十之自然对数除一切方根零数即得一切定准对数夫位少之数乘便于除位多之数除便于乘似以十之自然对数为除法较以对数根为乘法为便十之自然对数与对数根皆位多之数顾乘除方根零数乃乘除于得数之后得数即得方根也乘除所借之根单一为乘根于第一数之先第一数即连比例之第一数乘除于后与乘除于先原无少异则与其以十之自然对数除方根零数孰若以对数根乘借根单一之为便乎此求对数者所以恒置对数根为第一数之实也置对数根为第一数之实即如以对数根乘单一也
第三问
问求对数根共有几法曰旧法以十为本积开五十四次平方然后以方根为真数以方根之零数为自然对数以单一折半五十四次为定准对数置单一以定准对数乘之自然对数除之得对数根此一法也戴氏以十为本积先开三十一乘方为用数然后以用数开无量数九乘方求得方根零数以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然对数以十之自然对数除定准对数单一得对数根此又一法也李纫叔氏以二为本数求得自然对数三因之得八之自然对数又求得四与五之自然对数较命为八与十之自然对数较四五与八十比例同故对数较亦同以加八之自然对数为十之自然对数然后以十之自然对数除单一得对数根此又一法也夫旧法极繁不可为训戴李二术因十之自然对数不可径求故一则借用数以求之一则分二次以求之皆法之极善者也
第四问
又问求对数根别有法乎曰无论以若干数之自然对数除本数之定准对数皆得对数根以对数根乘诸自然对数既得诸定准对数则以诸自然对数除诸定准对数必得对数根但诸数之自然对数与定准对数恒难兼而有之如二可得自然对数不能得定准对数十之平方根可得定准对数不能得自然对数试思何数可兼得自然与定准两对数则得对数根矣间尝于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法与戴法相似后一法与李法相似此法任取略大于单一之数皆可为求对数根之借端明乎此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左
一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根
假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求之二十三乘方根法以借积减本积得０一五０二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三为第二数除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四为第三数乘法乘第三数除法除之得０００００００八一以