八七二五三为第二数除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四为第三数乘法乘第三数除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六为第五数诸数相得一一六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术
次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四除十之定准对数得四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得五六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三为第三数正乘法乘第三数得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四为第四数负如是求得二七四为第五数正一七三八为第六数负一五为第七数正一三为第八数负一为第九数正诸正数相诸负数以减之得九五九四一四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数四一六六六六六六七以自然对数九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术
一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根
假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得二五为第四数负如是求得二为第五数正一六七为第六数负一四为第七数正一为第八数负诸正数相诸负数以减之得九五三一一八为一一之自然对以上用开方第二术
次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得一五二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六□五五四八六七第二位为单数故志以口为屡次除法合以较积为乘法小借积为除法今以乘法除除法为除法则屡次乘法可以省去置大借积之根单一以除法除之得一五二五五九八为第一数正除法除第一数一乘之二除之得一一六三七五为第二数负除法除第二数二乘之三除之得一一八四为第三数正除法除第三数三乘之四除之得一四为第四数负第一第三数相以第二第四数相减之得一五一四七八为大借积与小借积之自然对数较亦即为大积与小积之自然对数较大小两借积皆寄大积除法为母同一寄母则与原大积小积比例仍同比例同故对数较亦同次置一一之自然对数以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次数加一乘之也得二二八七四四四三二为小积之自然对数以大小两积之自然对数较加之得二三二五八五二为十之自然对数置定准对数单一以十之自然对数除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第四术
代数术序
华蘅芳
代数术二十五卷余与西士傅兰雅所译也傅君本精于此学余亦粗明算法故傅君口述之余笔记之一日数千言不厌其艰苦凡两月而脱稿缮写付梓经年告成爰展阅一过而序之曰数之名始于一而终于九故至十则进其位而仍以自一至九之数名之至百则又进其位而仍以自一至九之数名之如是以至千万亿兆其例一也夫古人造数之时所以必以十纪之者诚以数之多可至无穷若每数各与一名则吾之名必有穷时且纷而无序将不可记忆不如极之于九而以十进其位则举手而示屈指而记虽愚鲁者皆能之故可便于民生日用传之数千百年至今不变也观夫市廛贸易之区百货罗列精粗美恶贵贱之不同则其数殊焉多寡长短大小之不同则其数又殊焉凡欲以其所有易其所无者必握算而计之其所斤斤计较者莫非数也设有人言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变