□○九四八四八有奇截用四位得□○九四八四为四小根以加前得十三位得六一八□三三九八八七五七四八四为四借根即元数
按右例所得十六位元数即理分中末之大分数也
截球解义
徐有壬
几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明盖风用方今用圆其理则无二也述截球解义
设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘幂因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径幂内容一象限为此体之凑心立面各一
图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径
图略于此体横切之去其上截则高为余弦
图略下半截上面截成两象限一大一小
图略
此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径 句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推之其理易见
然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣
立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也
又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也
底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等
于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也
小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也
余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累叠积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷横薄切之皆相等之象限面圆球横薄切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣
是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣
是故三倍圆珠两倍圆囷其积必等
夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣
是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等
是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积
再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥
再依前法将截球壳外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣
圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二
求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣
是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等
是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积
全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也
球径求积术
径自乘再乘半之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数 诸数相并即球积
球径求球壳积术
径自乘三之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五