之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与元数密合而止
算例
假如平方负积十六正方二正隅一求元数
以□三二之积一□六六四为外积□三二为外根求得□八四为递次除法 小初商□三为一借根 一借积一五□五减本积余以除法除之得□○一一九以加一借根得□三一一九为二借根 二借积一□五九六六一六一减本积余以除法除之得□○四二八以加二借根得□三一二三为三借根 三借积一□五九九九一二九减本积余以除法除之得□○一三以加三借根得□三一二三一三为四借根截去末三位得□三一二三即元数
天元开诸乘方捷术二和数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又加一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求小元数
以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法 小初商□○九为一借根 一借积□二七九减本积余以除法除之得□○五五以加一借根得□○九五五为二借根 二借积□二九七九七五内减本积余以除法除之得□○三九八七以减二借根余□○九五一一为三借根 三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□○一九五以加三借根得□○九五一二为四借根 四借积□二九一八五六内减本积余以除法除之得□○九二八以减四借根得□○九五一一九为五借根截去末一位得□○九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三□○之积二四□○为外积三□○为外根求得三□八为递次除法 大初商三□○为一借根 一借积二四□○内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一五为二借根 二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得□○九四二三以减二借根余二□八一为三借根 三借积一六□八三四内减本积余以除法除 之得□○八九四以减三借根余二□八一为四借根 四借积一六□八三内减本积余以除法除之得□○七八九以减四借根余二□八一为五借根弃零得二□八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一之积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得□○五以加一借根得□三五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得□○一二五以减二借根得□三四八七五为三借根 三借积□二九一二三四三内减本积余以除法除之得□○六一七一以加三借根得□三四八八一一七一为四借根截去末三位得□三四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得□三一二三一仍为借根以借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□○四六三九 乃用前得元数□三一二三一又为外根如前求得除法□八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□八二四六三为除法 除法除余积得□○五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方亦可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止