九九九五六六三九八一一九四九 减得
六六九七八四三五三六一一六八三五 内减一一之对数
四一二九二六八五一五八二二五四一七 减得
一九三五一五五一九五三八六六四一八 内减一四之对数
一七三三三三九二九八七八三五四三 减得
二二七一八一五八九六六六二八七五 内减一五之对数
二一六八六一七五六五七六七六二 减得
一五七五四一四九八六一一三 内减一二之对数
八六八五二一一六四八九五七二 减得
一八九三九二八四四九六五四一 内减一四之对数
一七三七一四三一八四九八九二 减得
一五三二四九六五九九八四四九 内减一三之对数
一三二八八一四九一三八八五 减得
二二九六一五一八四五六四 以借用本数之对数
四三四二九四二六四七五六二 除之得
五二八七八五九二一二 借用率数
假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真数
法依前求得借用率数五二八七八五九二一二乃以借用本数首位单一下加十九空位得一为第一数正 次以借用本数减去单一得一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七八五九二一二为第二数正 乘法乘第二数又以率数反减一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负 乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正 乃诸正数得一五二八七八五九二一二一内减第三负数得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一三与一四与一二与一五与一四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也
本数 一一
乘法 一一
第一数 一 降六位率数乘之得
二 五二八七八五九二一二 降六位率数减一乘之二除之得
三 一二四五九二九 降六位率数减二乘之三除之得
四 一
本数 一五二八七八五九二一二一
减得 一五二八七八四六五六一九二 以一三乘之得
一三五二八七一五一七四四六 以一四乘之得
一四三五二八八五一二一四六七 以一二乘之得
一二四三五三七五五六九七三八六七 以一五乘之得
一五二四四七五五二四四七五五二四四八 以一四乘之得
一四五四五四五四五四五四五四五四四八一 以一一乘之得
一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八 以二乘之得
二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八 弃零进一升一位
二三
按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大于单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣
割圜连比例术图解序
董佑诚
元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示盖海甯张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反覆寻绎究其立法之原盖即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢亘求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉
割圜连比例后序
董佑诚
割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于钟祥李氏盖干隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通钓隐探赜杂而不越盖师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元玉监菱草形段果垛叠藏诸问乃知递乘递除之术近古所