又诸负数减之得所求
第四术
法任截本数几位依前术加一依本率乘数累乘之为第一数正 次之本数为除法截去数加一内减本数其减余数为乘法乃以乘法乘第一数除法除之又以率数乘之为第二数负 乘法乘第二数除法除之率数加一乘之二除之为第三数正 乘法乘第三数除法除之率数加二乘之三除之为第四数负 乘法乘第四数除法除之率数加三乘之四除之为第五数正 如是递求至单位下乃诸正数又诸负数减之得所求
按有本数求倍大折小各率本通为一法非有二义其第二数倍大用率数乘者缘率分率数与单一为三率连比例率分为首率则单一为中率率数为末率故以率分除之之数即同于率数乘之之数而折小各率率分整而率数零故用率分为便倍大各率率数整而率分零故用率数为便也其第三数以率数加减一乘之二除之者缘连比例首率与中率之比同于中率与末率之比前四术首率内加减中率乘之倍首率除之后四术中率内加减末率乘之倍中率除之其得数必同也以下各数义仿此其第二三术与前第二三术正负各异者缘乘法虽云率数内减一实一内减率数其减余为负算故乘为负乘既为负乘则乘后之正负必变故能变逐数皆负者为正负相闲变正负相间者为逐数皆正也其率数减尽而止者凡算例以适足为实任以正数负数乘除之必仍为适足或正负数为实以适足数乘除之亦为适足故率数减尽则以下无数也
又按前四术可为开方捷法后四术所求止须以本数累乘即得而挨次递求似乎较烦然开方与累乘但能求倍大折小各整率若前八术则凡第一数可知者虽零率亦可求用之对数为尤要也又按每数通用之乘法除法若先以除法除乘法用为递次乘法则一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用为递次除法则一次除可代一乘一除
论对数根
戴煦
对数根者诸对数之所生即单一下无数空位零一之对数也旧法以一为积开方五十四次以其方根单一下空位后所带之零数为一率单一折半五十四次即一兆八千余亿除单一之数为二率单一下十五空位零一之一为三率求得四率为对数根夫以一为积开方五十四次即以一为本数第一率求折小第一兆八千零一十四万三千九百八十五亿零九百八十四万一千九百八十四率也今有本数即可求折小各率则是第五十四次开方数可以径求矣既可径求则求第一兆八千余亿率不如求第一无量数率一无量数犹云一千或一万何也盖一兆八千余亿率为第五十四次开方数之率分其位数甚多用连比例求得率数亦有多位即第五十四次开方数之对数而布算甚繁一无量数数虽极大而仍为一不过一下有无数空位耳以为首率用连比例求末率必为单位下无数空位零一此即求对数根四率之二率数既为一可省多位乘法一次且一无量数较一兆有零为尤密也
今定一之对数为单一求对数根
法先以一开平方五次或开平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一七四六七八二八三二一三一七四九七为对数根之用数用数见后第三十二率以前各率为用数则降位稍难若三十二率以后皆可为用数不必定用三十二率也置用数减去首位单一以除用数得一四四三四一九二一八八六八六五三九为递次除法用数为通田除法用数减首位为通用乘法此即前所云以乘法除除法为递次除法则一次除可代一乘一除也乃以除法除单一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九二四九六三二六六为第一数正 除法除第一数一乘之二除之得七七一二三八六四一六七八三为第二数正 除法除第二数二乘之三除之得三五六九七一六四九二五一二二为第三数正 除法除第三数三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八五为第四数正 除法除第四数四乘之五除之得一三二四九四四二八三为第五数正 如是递求得五九七三一七三三七四一为第六数正 三五五四六一六三一三为第七数正 二一五九四一四六为第八数正 一三三二六五三为第九数正 八三二七一为第十数正 五二五五七为第十一数正 三三四五为第十二数正 二一四为第十三数正 一四为第十四数正 一为第十五数正 乃诸正数得二三二五八五九二九九四四五七七为首率单一为中率求得末率四三四二九四四八一九三二五一八一一即对数根也
用数 一七四六七八二八三二一三一七四九七
除法 一四四三四一九二一八八六八六五三九
第一数 二二二一六九四六九二四九六三二六六 除法除之一乘二除得
二 七七一二三八六四一六七八三 同 二 三
三 三五六九七一六四九二五一二二 同 三 四
四 一八五八七七八二四九九八五 同 四 五
五 一三二四九四四二八三 同 五 六
六 五九七三一七三三七四一 同 六 七
七 三五五四六一六三一三 同 七 八
八 二一五九四一四六 同 八 九
九 一三三二六五三 同 九 十
十 八三二七一 同 十 十一