元数
以□一之积□三为外积□一为外根求得□二为递次除法 小初商 九为一借根 一借积□二七九减本积余以除法除之得００五五以加一借根得 九五五为二借根 二借积０九０七九七五内减本积余以除法除之得□０００三九八七以减二借根余０九五一０一为三借根 三借积□二八九九六一九九减本积余以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０为四借根 四借积□二九０００一八五六内减本积余以除法除之得０００００九二八以减四借根得 九五一一九 为五借根截去末一位得０九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一昔积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三０之积二四０为外积三０为外根求得三□八为递次除法 大初商三０为一借根 一借积二四 内减本积余以除法除之得□一八九四七三以减一借根余二□八一０五为二借根 二借积一七□一五八一内减本积余以除法除之得００九四二三以减二借根余二□八０一０为三借根 三借积一六□八三四内减本积余以除法除之得０００八九四以减二借根余二□八００一为四借根 四借积一六□八０三内减本积余以除法除之得００００七八九以减四借根余二□八０００一为五借根弃零得二□八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一 积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借根积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得００五以加一借根得□三０五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得０００一二五以减二借根得□三０四八七五为三借根 三借积□二九００一二三四三内减本积余以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一为四借根截去末三位得□三０四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍为借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□００００四六三九０乃用前得元数□三一二三 又为外根如前求得除法□八一四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三为除法 除法除余积得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一０五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方方可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相并减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□０九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□０九０四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□0九００二 为二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本积得□０九００００九弃零得□０九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿００十万０一千负廉十万０一千０一正隅一求元数
方廉隅正负并减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之