一
乘数 一０００００一
第一数 一０００００００００００００００００００ 降六位率数乘之得
二 五二八七０八五九０二一二０ 降六位率数减一乘之二除之得
三 一二四五九二九 降六位率数减二乘之三除之得
四 一
本数 一００００００五二八七０八五九０二一二一
减得 一００００００五二八七０八四六五六一九二 以一０００００三乘之得
一０００００三五二八七一００五一七四四六 以一００００四乘之得
一００００四三五二八八五一二００一四六七 以一０００二乘之得
一０００二四三五三七五五六九七０三八六七 以一００五乘之得
一００五二四四七五五二四四七五五二四四八 以一０四乘之得
一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一 以一一乘之得
一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八 以二乘之得
二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八 弃零进一升一位
二三
按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大干单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一００一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣
割圜连比例术图解序
董佑诚
元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示海张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反复寻绎究其立法之原即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢互求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉
割圜连比例后序
董佑诚
割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反复推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜杂而不越师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元鉴菱草形果垛迭藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰并记之
少广缒凿
夏鸾翔
开平方捷术一
小初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之为三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止
此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根
算例
假如平积一百二十一求方根
小初商□０为一借根 一借根除本积得一□二一为二借根 并一二借根半之得一□一０五为三借根 三借根除本积得一□０九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根 并三四借根半之得一□一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根
开平方捷术二
大初商为一借根 以一借根除本积得二借根 并一二借根半之得三借根 以三借根除本积得四借根 并三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根
算例
假如平积九十九求方根
大初商一 为一借根 一借根除本积得□九九为二借根 并一二借根半之得□九五为三借根 三借根除本积得□九九