或又问曰算法之事所用者数也明其理而不善演其数则是能说而不能行矣又曷取乎明理为哉
答之曰演数者祗能用法而明理者则能创法凡演数者所用之法皆明理者之所创也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如创业演数之人譬如守成其劳逸难易有不可同日而语者明理之人非但能创前所未有之法又能以因为创而将从前已有之法改之使更便于用故有至难之法一变而为至易者亦有至繁之法一变而为至简者即如圆径求周古时用割圆之法开方数十次仅能得数位密率今用屡乘屡除可任求若干位密率而不必开方又如求八线之法古时用六宗三要二简法而不能任求某角之线今则弧背与八线能彼此相求又如真数求对数古时用中比例之法以代开数十百次之方今用级数可以任求而不必用中比例其简易不知几何倍矣
或又问曰明理始能创法是创法之人无有不明其理者也吾见近时算学之书每有但言其所立之各术而于立术之理则不赘一辞岂其理祗能自明而不能与人共明欤抑秘其立术之理而惟恐人之得明欤
答之曰子所言之书其创法之时用天元之术以演各尖堆之积枝枝节节而为之此中曲折之故祗为创法者所自明若欲与人共明其理则取径纡布算繁重演之非易言之甚难不能如微分积分之直捷简明也卷帙既多则刊校均非易事故先刊各术而其释术之书将俟续出后因已见微积之术觉己法不足以传示后世遂焚弃其稿未可知也或身遭兵燹就义成仁而遗稿飘零散失亦未可知也
或又问曰有数种算学之书其所立之术虽未尝自匿其理而观其释术之语终不能明白晓畅其故何也
答之曰立术之理若非从大公至正之轨悟入每觉可以意会而不可以言传故自明其理则易欲使他人共明其理则难其人虽有深致远之心思而笔墨所达未能曲尽其妙则他人观之仍不能明此亦由于观是书者功夫尚浅未能领略其语耳
或又问曰今之算术密矣巧矣简而易矣蔑以加矣吾恐从此以后即有钻研数数之人亦未必能再创新术矣
答之曰他事皆有止境而算学无止境也古人创术之时何尝不自以为巧密逮有功密于古术者则以古术为拙矣后之视今亦犹今之视昔安知此后更无再巧再密之术而视今之巧密者为拙耶
论比例之用
华蘅芳
中法之异乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真为四率比例之题方田差分商功均输虽非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少广盈朒方程句股每章各有专术不必强以比例明之罗茗香作比例汇通将一切算法皆归比例识者讥之
题中所藏之比例其理未必尽显是在乎学者探索题意而得其相比之理则能将题中各数用加减乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用数次比例者所以比例之名甚多有正比例转比例合率比例按分递折比例递加递减比例超位加减比例和较比例等名名目愈多头绪愈乱余以为比例只有一法乃二三两率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此诸率之法随题异形稍有分别耳
新译几何原本序代曾文正公
张文虎
几何原本前六卷明徐文定公受之西洋利玛窦氏同时李凉庵汇入天学初函而圜容较义测量法义诸书其引几何颇有出六卷外者学者因以不见全书为憾咸丰间海李壬叔始与西士伟烈亚力续译其后九卷复为之订其舛误此书遂为完帙松江韩绿卿尝刻之印行无几而板毁于寇壬叔从余安庆军中以是书子曰此算学家不可少之书今不刻行复绝矣会余移驻金陵因属壬叔取后九卷重校付刊继思无前六卷则初学无由得其蹊径而乱后书籍荡泯天学初函世亦稀觏近时广东海山仙馆刻木纰缪实多不足贵重因并取六卷者属校刊之我中国算书以九章分目皆因事立名各为一法学者泥其而求之往往毕生习算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而视为绝学者无他徒眩其法而不知求其理也传曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数然则数出于象观其象而通其理然后立法以求其数则虽未前人已成之法而设之若合符契至于探赜索隐推广古法之所未备则益远而无穷也几何原本不言法而言理括一切有形而概之曰点线面体点线面体者象也点相引而成线线相遇而成面面相迭而成体而线与线面与面体与体其形有相兼有相似其数有和有较有有等有无等有有比例有无比例洞悉乎点线面体而御之以加减乘除譬诸闭门造车出门而合辙也奚敝敝然逐物而求之哉然则九章可废乎非也学者通乎声音训诂之端而后古书之奥衍者可读也明乎点线面体之理而后数之繁难者可通也九章之法各适其用几何原本则彻乎九章立法之源而凡九章所未及者无不赅也致其知于此而验其用于彼其如肆力小学而收效于籍者欤
象数一原序一
项名达
方圜率古不相通也径求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必资六宗三要二简法非可径求所以然者方有尽圜无穷势难强合也自杜氏术出而方圜之率始通其术用连比例一率半径二率通弦三率倍矢由是递求诸率有径即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其数亦最真顾是术也梅氏赤水遗珍载焉而未释明静庵