中黄钟之宫乃黄钟清律,不得溷同於仲冬月律中黄钟为最长之浊律。《吕氏春秋》,先制黄钟之宫,次制十有二筒,亦黄钟有清律之证。
今志作上生不得过黄钟之清浊,下生不得及黄钟之数,实因清字讹衍在上,后人改窜其下,揆诸律法,遂不可通。盖是书不特为算家所不废,实足以发明经史,核订疑义,於考证之学尤为有功焉。
△《张邱建算经》三卷(吏部侍郎王杰家藏本)
原本不题撰人时代。《唐志》载张邱建《算经》一卷,甄鸾注,则当在甄鸾之前。书首邱建自序引及夏侯阳、孙子之术,则当在夏侯阳之后也。《隋志》载此书作二卷。《唐志》一卷,甄鸾注外,别有李淳风注张邱建《算经》三卷。郑樵《通志艺文略》,张邱建《算经》二卷,又三卷,李淳风注。《宋艺文志》、《中兴书目》亦俱作三卷,则析为三卷自淳风始。此本乃毛晋汲古阁影抄宋椠,云得之太仓王氏。首题汉中郡守前司隶甄鸾注经,朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等奉敕注释,算学博士刘孝孙撰细草。盖犹北宋时秘书监赵彦若等校定刊行之本。其中称术曰者,乃鸾所注。草曰者,孝孙所增。其细字夹注称臣淳风等谨案者,不过十数处。盖有疑则释,非节节为之注也。其书体例皆设为问答,以参校而申明之,凡一百条。简奥古质,颇类《九章》,与近术不同。而条理精密,实能深究古人之意,故唐代颁之算学,以为颛业。今详加校勘,其上卷起自乘除之数,至第十二问为勾股测望,十三问为勾股和较,十四问为重勾股颠倒测望,十五问为卧勾股左右进退测望,此四问皆藉图以明,旧本所无,今特依义补入。
自十六问以下皆取差分、和较、均输参杂为目,间附以方圆幂积。至中卷之第六问,乃入商功,后复及贵贱、差分、倍半、衰分、方田诸术。惟弧矢一问原本不完,未可以他术增补,姑仍其阙。下卷首问失题,又细草下亦脱二十余字,以有后文可据,谨为补足。其鹿垣仓三条,亦各为之图,系诸原问之左,俾学者得以考见其端委焉。
△《缉古算经》一卷(吏部侍郎王杰家藏本)
唐王孝通撰。其结衔称通直郎太史丞。其始末未详。惟《旧唐书律历志》“戊寅历”条下有武德九年校历人算历博士臣王孝通题,盖即其人也。是书一名《缉古算术》,《唐书艺文志》、《崇文总目》俱称李淳风注。今案此本卷首实题孝通撰并注,则《唐志》及《总目》为误。又《宋志》作一卷,《唐志》、郑樵《艺文略》俱作四卷,王应麟《玉海》谓今亡其三。案《孝通原表》称二十术,检勘书内条目相同,并无阙佚,不知应麟何所据而云然也。书中大旨,以《九章商功篇》有平地役功受袤之术,其於上宽下狭窄,前高后卑,阙而不论,世人多不达其理。因于平地之余,续狭斜之法。凡推朔夜半时月之所离者一术,推仰观台及羡道高广袤者一术,推筑堤授工上下广及高袤不同者一术,推筑龙尾堤者一术,推穿河授工斜正袤上广及深并漘上广不同者一术,推四郡输粟窖上下广袤馀郡别出入及窖深广者一术,推亭仓上下方高者一术,推刍薨、圆囤者各一术,推方仓圆窖对待者五术,推勾股边积互求者六术,共合二十术之数。中间每以人户道里,大小远近,及材物之轻重,工作之时日,乘除进退,参伍以得其法。
颇不以深浅为次第,故读者或不能骤通。而卒篇以后,由源竟委,端绪足寻,洵为思极毫芒,曲尽事理。唐代明算立学,习此书者以三年为限,亦知其术之精妙,非旦夕所克竟其义矣。其书世罕流播,此乃宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刊行旧本,常熟毛扆得之章邱李氏,而影抄传之者。今详加勘正,其文间有脱阙,不敢妄补。谨撮取其义,别加图说,附诸本文之左,以便观览云。
△《数学九章》十八卷(永乐大典本)
宋秦九韶撰。九韶始末未详。惟据原序自称其籍曰鲁郡。然序题淳祐七年,鲁郡已久入於元。九韶盖署其祖贯,未详实为何许人也。是书分为九类。一曰大衍,以奇零求总数为九类之纲。二曰天时,以步气朔晷影及五星伏见。三曰田域,以推方圆幂积。四曰测望,以推高深广远。五曰赋役,以均租税力役。六曰钱穀,以权轻重出入。七曰营建,以度土功。八曰军旅,以定行阵。九曰市易,以治交易。虽以《九章》为名,而与古《九章》门目迥别,盖古法设其术,九韶则别其用耳。宋代诸儒,尚虚谈而薄实用。数虽圣门六艺之一,亦鄙之不言,即有谈数学者,亦不过推衍河洛之奇偶,於人事无关。故乐屡争而不决,历亦每变而愈舛,岂非算术不明,惟凭臆断之故欤?数百年中,惟沈括究心是事,而自《梦溪笔谈》以外,未有成书。九韶当宋末造,独崛起而明绝学。其中如大衍类蓍卦发微,欲以新术改《周易揲蓍》之法,殊乖古义。古历会稽题数既误,且为设问以明大衍之理,初不计前后多少之历过,尤非实据。天时类缀术推星,本非方程法,而术曰方程,复於草中多设一数以合方程行列,更为牵合。所载皆平气平朔,凡晷影长短,五星迟疾,皆设数加减,不过得其大概,较今之定气定朔,用三角形推算者,亦为未密。然自秦、汉以来,成法相传,未有言其立法之意者。惟此书大衍术中所载立天元一法,能举