《汉志》言律，一曰备数，二曰和声，三曰审度，四曰嘉量，五曰衡权。自魏、晋已降，代有沿革。今列其增损之要云。
○备数
五数者，一、十、百、千、万也。《传》曰：“物生而后有象，滋而后有数。”是以言律者，云数起于建子，黄钟之律，始一，而每辰三之，历九辰至酉，得一万九千六百八十三，而五数备成，以为律法。又参之，终亥，凡历十二辰，得十有七万七千一百四十七，而辰数该矣，以为律积。以成法除该积，得九寸，即黄钟宫律之长也。此则数因律起，律以数成，故可历管万事，综核气象。其算用竹，广二分，长三寸，正策三廉，积二百一十六枚，成六觚，乾之策也。负策四廉，积一百四十四枚，成方，坤之策也。觚方皆经十二，天地之大数也。是故探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。一、十、百、千、万，所同由也。律、度、量、衡、历、率，其别用也。故体有长短，检之以度，则不失毫厘；物有多少，受之以器，则不失圭撮；量有轻重，平之以权衡，则不失黍丝；声有清浊，协之以律吕，则不失宫商；三光运行，纪以历数，则不差晷刻；事物糅见，御之以率，则不乖其本。故幽隐之情，精微之变，可得而综也。
夫所谓率者，有九流焉：一曰方田，以御田畴界域。二曰栗米，以御交质变易。三曰衰分，以御贵贱廪税。四曰少广，以御积冪方圆。五曰商功，以御功程积实。六曰均输，以御远近劳费。七曰盈肭，以御隐杂互见。八曰方程，以御错糅正负。九曰句股，以御高深广远。皆乘以散之，除以聚之，齐同以通之，今有以贯之。则算数之方，尽于斯矣。
古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
○和声
传称黄帝命伶伦断竹，长三寸九分，而吹以为黄钟之宫，曰含少。次制十二管，以听凤鸣，以别十二律，此雌雄之声，以分律吕。上下相生，因黄钟为始。《虞书》云：“叶时月正日，同律度量衡。”夏禹受命，以声为律，以身为度。《周礼》，乐器以十二律为之度数。司马迁《律书》云：“黄钟长八寸七分之一，太簇长七寸七分二，林钟长五寸七分三，应钟长四寸三分二。”此乐之三始，十二律之本末也。班固、司马彪《律志》：“黄钟长九寸，声最浊；太簇长八寸；林钟长六寸；应钟长四寸七分四厘强，声最清。”郑玄《礼·月令注》、蔡邕《月令章句》及杜夔、荀勖等所论，虽尺有增损，而十二律之寸数并同。《汉志》京房又以隔八相生，一始自黄钟，终于中吕，十二律毕矣。中吕上生黄钟，不满九寸，谓之执始，下生去灭。上下相生，终于南事，更增四十八律，以为六十。其依行在辰，上生包育，隔九编于冬至之后。分焉、迟内，其数遂减应钟之清。宋元嘉中，太史钱乐之因京房南事之余，引而伸之，更为三百律，终于安运，长四寸四分有奇。总合旧为三百六十律。日当一管，宫徵旋韵，各以次从。何承天《立法制议》云：“上下相生，三分损益其一，盖是古人简易之法。犹如古历周天三百六十五度四分之一，后人改制，皆不同焉。而京房不悟，谬为六十。”承天更设新率，则从中吕还得黄钟，十二旋宫，声韵无失。黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强。其中吕上生所益之分，还得十七万七千一百四十七，复十二辰参之数。
梁初，因晋、宋及齐，无所改制。其后武帝作《钟律纬》，论前代得失。其略云：
案律吕，京、马、郑、蔡，至蕤宾，并上生大吕；而班固《律历志》，至蕤宾，仍以次下生。若从班义，夹钟唯长三寸七分有奇。律若过促，则夹钟之声成一调，中吕复去调半，是过于无调。仲春孟夏，正相长养，其气舒缓，不容短促。求声索实，班义为乖。郑玄又以阴阳六位，次第相生。若如玄义，阴阳相逐生者，止是升阳，其降阳复将何寄？就筮数而论，乾主甲壬而左行，坤主乙癸而右行，故阴阳得有升降之义。阴阳从行者，真性也，六位升降者，象数也。今郑乃执象数以配真性，故言比而理穷。云九六相生，了不释十二气所以相通，郑之不思，亦已明矣。
案京房六十，准依法推，乃自无差。但律吕所得，或五或六，此一不例也。而分焉上生，乃复迟内上生盛变，盛变仍复上生分居，此二不例也。房妙尽阴阳，其当有以，若非深理难求，便是传者不习。
比敕详求，莫能辨正。聊以余日，试推其旨，参校旧器，及古夹钟玉律，更制新尺，以证分毫，制为四器，名之为通。四器弦间九尺，临岳高一寸二分。黄钟之弦二百七十丝，长九尺，以次三分损益其一，以生十二律之弦丝数及弦长。各以律本所建