与实测相近。至本年六月朔日食，新推较之实测，仅差数秒。是新拟之数，于日行已无疑义，月行亦属近合。今拟先测恆星，以符运度，继考日躔、月离，务合天行。请以道光十四年甲午为元，按新数日行黄赤大距，修恆星、黄赤道经纬度表，即于测算时详考五纬月行，俾恆星、五纬、日月交食等书，得以次第竣事。”从之。是年七月，以敬徵为修历总裁，监正周馀庆、左监副高煜为副总裁。
二十五年七月，进呈黄道经纬度表、赤道经纬度表各十三卷，月五星相距表一卷，天汉界度表四卷，经星汇考、星首步天歌、恆星总纪各一卷，为仪象考成续编。至日月交食、五星行度俱阙而未备云。时冬官正司廷栋撰凌犯视差新法，用弧三角布算，以限距地高及星距黄极以求黄经高弧三角，较旧法为简捷。乾隆以后，历官能损益旧法，廷栋一人而已。其不为历官而知历者，梅文鼎、薛凤祚、王锡阐以下，江永、戴震、钱大昕、李善兰为尤著。其阐明中、西历理，实远出徐光启、李之藻等之上焉。
志二十一 时宪二
△推步算术
推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圆形。今撮其大旨，证立法之原，验用数之实，都为一十六术，著于篇。
平三角形者，三直线相遇而成。其线为边，两线所夹空处为角。有正角，当全圆四分之一，如甲乙丙形之甲角。有锐角，不足四分之一，如乙、丙两角。有钝角，过四分之一，如丁戊己形之戊角。图形尚无资料
角之度无论多寡，皆有其相当之八线。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度与九十度相减馀度之四线也，如甲乙为本度，则丙乙为馀度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬癸为本度，则丑癸为馀度，正弦癸辰，正矢壬辰，馀弦癸卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。以壬癸过九十度无正割、正切，借癸午之子未为正割，午未为正切。若正九十度丑壬为本度，则无馀度，丑子半径为正弦，壬子半径为正矢，亦无正割、正切，并无馀弦、馀矢、馀割、馀切。
古定全圆周为三百六十度，四分之一称一象限，为九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圆半径为十万，后改千万。逐度逐分求其八线，备列于表。推算三角，在九十度内，欲用某度某线，就表取之，算得某线。欲知某度，就表对之。过九十度者，欲用正弦、正割、正切及四馀，以其度与半周相减馀，就表取之。欲用正矢，取馀弦加半径为之。既得某线，欲知某度，就表对得其度与半周相减馀命之。
图形尚无资料
算平三角凡五术：
一曰对边求对角，以所知边为一率，对角正弦为二率，所知又一边为三率，二三相乘，一率除之，求得四率，为所不知之对角正弦。如图甲乙为所知边，丁角为所知对角，乙丁为所知又一边，甲角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。如图乙丁为半径之比，乙丙为丁角正弦之比。法当先以半径为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率中垂线乙丙。既得乙丙，甲乙为半径之比，乙丙又为甲角正弦之比。乃以甲乙为一率，乙丙为二率，半径为三率，求得四率，自为甲角正弦。然后合而算之，以先之一率半径与后之一率甲乙相乘为共一率，先之二率丁角正弦与后之二率乙丙相乘为共二率，先之三率乙丁与后之三率半径相乘为共三率，求得四率，自为先之四率乙丙与后之四率甲角正弦相乘数，仍当以乙丙除之，乃得甲角正弦。后既当除，不如先之勿乘。共二率内之乙丙与三率相乘者也，乘除相报，乙丙宜省。又共三率内之半径与二率相乘者也，共一率内之半径又主除之，乘除相报，半径又宜省。故径以甲乙为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率，为甲角正弦。
二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边为二率，所知又一角正弦为三率，求得四率，为所不知对边。此其理具对边求对角，反观自明。
三曰两边夹一角求不知之二角，以所知角旁两边相加为一率，相减馀为二率，所知角与半周相减，馀为外角，半之，取其正切为三率，求得四率，为半较角正切。对表得度，与半外角相加，为对所知角旁略大边之角；相减，馀为对所知角旁略小边之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如图甲乙丙形，中垂线甲丁，分为两正角形。正角为长方之半，长方四角皆正九十度，正角形两锐角斜剖长方，此角过九十度之半几何，彼角不足九十度之半亦几何，一线径过，其势然也。故甲右边分角必与乙角合为九十度，甲左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各加丁角，皆成半周，合为锐角形。除去丁角，三角合亦自为半周。故既知一角之外，其馀二角虽不知各得几何度分，必知其共得此角减半周之馀也。一在三角同式形比例。如图丙庚戊形，知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙甲，连丙戊为甲戊，两边相加。截丙戊于丙丁，为戊丁，两边相减馀。作庚丁虚线，丙庚、丙丁同长，庚丁向圆内二角必同度，是皆为丙角之半外角，与甲辛、辛庚之度等。而庚向圆外之角，即本形庚角大于戊角之半